Unidad 1

 PROPOSICIÓN

 Llamaremos de esta forma a cualquier afirmación que sea verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez.

Ejemplo 
 Las siguientes afirmaciones son proposiciones.
 a) Gabriel Garcıa Marquez escribio Cien años de soledad.
b) 6 es un numero primo.
c) 3+2=6
d) 1 es un numero entero, pero 2 no lo es.

Nota  Las proposiciones se notan con letras minusculas, p, q, r . . . . . .
La notacion p :Tres mas cuatro es igual a siete se utiliza para definir que p es la proposicion “tres mas cuatro es igual a siete”. Este tipo de proposiciones se llaman simples, ya que no pueden descomponerse en otras.

Desde el punto de vista logico carece de importancia cual sea el contenido material de los enunciados, solamente interesa su valor de verdad.

Valor de Verdad:

 Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposición a su veracidad o falsedad. El valor de verdad de una proposición verdadera es verdad y el de una proposición falsa es falso.

 Ejemplo 
Dígase cuales de las siguientes afirmaciones son proposiciones y determinar el valor de verdad de aquellas que lo sean.
a) p: Existe Premio Nobel de informática.
b) q: La tierra es el único planeta del Universo que tiene vida.
c) r: Teclee Escape para salir de la aplicación.
d) s: Cinco mas siete es grande.

 Solución 
a) p es una proposición falsa, es decir su valor de verdad es Falso.
b) No sabemos si q es una proposición ya que desconocemos si esta afirmación es verdadera o falsa. c) r no es una proposición ya que no es verdadera ni es falsa. Es un mandato.
d) s no es una proposición ya que su enunciado, al carecer de contexto, es ambiguo. En efecto, cinco niñas mas siete niños es un numero grande de hijos en una familia, sin embargo cinco monedas de cinco cinco céntimos mas siete monedas de un céntimo no constituyen una cantidad de dinero grande.

Proposición Compuesta

 Si las proposiciones simples p1, p2, . . . , pn se combinan para formar la proposicion P, diremos que P la es una proposición compuesta de p1, p2, . . . , pn.

Ejemplo
 “La Matemática Discreta es mi asignatura preferida y Mozart fue un gran compositor” es una proposición compuesta por las proposiciones “La Matemática Discreta es mi asignatura preferida” y “Mozart fue un gran compositor”.
“El es inteligente o estudia todos los días” es una proposición compuesta por dos proposiciones: “El es inteligente” y “El estudia todos los días”.

Nota  La propiedad fundamental de una proposición compuesta es que su valor de verdad esta completamente determinado por los valores de verdad de las proposiciones que la componen junto con la forma en que están conectadas.

OPERADORES LÓGICOS 

Negacion

 Dada una proposición cualquiera, p, llamaremos “negación de p” a la proposición “no p” y la notaremos ¬p. Sera verdadera cuando p sea falsa y falsa cuando p sea verdadera.
La tabla de verdad de esta nueva proposición, ¬p, es:

Conjunción 

Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos conjunción de ambas a la proposición compuesta “p y q” y la notaremos p ∧ q. Esta proposición sera verdadera únicamente en el caso de que ambas proposiciones lo sean. Observase que de la definición dada se sigue directamente que si p y q son, ambas, verdaderas entonces p ∧ q es verdad y que si al menos una de las dos es falsa, entonces p ∧ q es falsa. 

Disyunción

 Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción de ambas a la proposición compuesta “p o q” y la notaremos p ∨ q. Esta proposición sera verdadera si al menos una de las dos p o q lo es. De acuerdo con la definición dada se sigue que si una de las dos, p o q, es verdad entonces p∨q es verdad y que p ∨ q sera falsa, únicamente si ambas lo son.

 Disyunción Exclusiva

 Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción exclusiva de ambas a la proposición compuesta “p ´o q pero no ambos” y la notaremos p Y q. Esta proposición sera verdadera si una u otra, pero no ambas son verdaderas. Seg´un esta definición una disyunción exclusiva de dos proposiciones p y q ser´a verdadera cuando tengan distintos valores de verdad y falsa cuando sus valores de verdad sean iguales.

 Condicional 

Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta

 “si p, entonces q” 

se le llama “proposición condicional” y se nota por

 p −→ q 

A la proposición “p” se le llama hipótesis, antecedente, premisa o condición suficiente y a la “q” tesis, consecuente, conclusión o condición necesaria del condicional. Una proposición condicional es falsa únicamente cuando siendo verdad la hipótesis, la conclusión es falsa (no se debe deducir una conclusión falsa de una hipótesis verdadera). 

Bicondicional

 Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta

 “p si y solo si q”

 se le llama “proposición bicondicional” y se nota por

 p ←→ q

 La interpretación del enunciado es:

 p solo si q y p si q

 o lo que es igual

 si p, entonces q y si q, entonces p

 es decir,

 (p −→ q) ∧ (q −→ p)

•TAUTOLOGÍA: 

Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas las asignaciones de valores de verdad  para sus proposiciones componentes. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso: 

•CONTRADICCIÓN: 

Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso: 

•CONTINGENCIA:

Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, (combinación entre tautología y contradicción) según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: